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H19春  午前問2  についって詳しく教えてください

①logAAm=mについて

これは、(ア)底と真数が同じ値ならばその対数は1となる性質と、(イ)真数の指数はlogの前に出すことができる性質を利用したものです。

(ア)の例を挙げるとlog22=1となります。

どんな数を1乗しても値は変わりませんから当然ですね。

(イ)の例を挙げるとlog234=4log23となります。

真数に累乗がついていたら、それをlogの前に持ってこれるということですね！

②logAA=1

③logA1=0

④log_A \frac{1}{A}=-1について

この三つの性質はそれぞれ、1乗するとそのまま、0乗すると1になる、-1乗すると分数になるという性質からきていますね。

⑤logAMN=logAM+logAN

⑥log_A \frac{M}{N}=log_A M -log_A Nについて

この二つの性質は非常に重要です。

logの真数が掛け算で表されていたらそれぞれ足し算に分けることができ、真数が割り算で表されていたらそれぞれ引き算に直すことができます。

証明は省略しますが、対数の計算などで非常によく出てくるので確実に押さえましょう！

⑦log_A \frac{1}{N}=-log_A Nについて

これは③,⑥を応用したもので、log_A \frac{1}{N}=log_A 1 -log_A N=-log_A Nからきています。

⑧logAMR=RlogAMについて

これは１で説明した、真数の累乗はlogの前に出せる性質を応用したものです。

⑨log_A \sqrt[R]{M}=\frac{1}{R}log_A Mについて

これは\sqrt[R]{M}=M^\frac{1}{R}と表すことができることからきています。

⑩log_A B=\frac{log_C B}{log_C A}
⑪log_A B=\frac{1}{log_B A}について

これらは、底の変換公式という非常に重要な公式です。

こちらも証明は省略しますが、この二つの式を使うと自由に底を変換できるので、計算問題などで大活躍しますよ！

以上11個の公式について説明してきましたが、logの定義と①⑤⑥⑩を押さえておけばどの式も導けるようになるので、各自で使い方などを練習してみてくださいね！

1-4.対数logを使った計算方法
これまで対数の定義やlogの性質を学んできましたが、実際にlogが入った計算をしてみましょう！

logを含んだ計算の前提として、①：底と真数が等しいもの同士は足したり引いたりできること、②：底や真数が同じであってもlog同士の掛け算はできないことが挙げられます。

Ⅰについて：log25+log25=2log25は成立しますがlog25+log27=log212とはなりません

log25+log35=log55ともならないので注意してくださいね。

Ⅱについて：log25×4log25=4(log25)2と、同じ底、真数の対数同士を累乗でまとめることはできますが、log25×log37=log635などとはならないので注意が必要です。

言葉で言ってもわかりづらいと思うので、実際に計算しながら学んでみましょう！

(1)log210-log25

(2)log325×log59

(3)(log225+log45)×(log54+log516)

解答

(1)log210-log25

→これは上記性質の⑤を利用します。

log210-log25=log2(5×2)-log25=1+log25-log25=1…答え

(2)log325×log59=2log35×2log53

ここで利用するのが⑪の底の変換公式です。

log_A B=\frac {1}{log_B A}により、

log_5 3=\frac {1}{log_3 5}となります。

2log35×2log53=2log_3 5 \times \frac {2}{log_3 5}=4…答え

(3)(log225+log45)×(log54+log516)

これは左の()は底を2に、右の()は底を5に揃えれば計算しやすそうなので実行してみると、

(log_2 5^2 +\frac{log_2 5}{log_2 4}) \times (log_5 2^2 +log_5 2^4)=(2log_2 5 +\frac{log_2 5}{log_2 2^2}) \times (2log_5 2 +4log_5 2)=(2log_2 5 +\frac{log_2 5}{2}) \times 6log_5 2 = \frac{5}{2}log_2 5 \times 6\frac{1}{log_2 5}

すみません。LaTex表記には対応していないのです。