基本情報技術者平成17年秋期 午前問1

午前問1

次の10進小数のうち,8進数に変換したときに有限小数になるものはどれか。
  • [この問題の出題歴]
  • 基本情報技術者 H24春期 問1
  • ソフトウェア開発技術者 H16春期 問1

分類

テクノロジ系 » 基礎理論 » 離散数学

正解

解説

10進数の小数部をN進数の小数に変換する方法の一つとして、10進小数に基数Nを掛けて演算結果の整数部を取り出し、さらに演算結果の小数部に基数Nを掛けて整数部を取り出して…と繰り返すものがあります。この計算過程で小数部が0になれば有限小数であると言えます。

例えば10進小数 0.8125 を8進小数にするには以下のように計算します。
01.gif/image-size:230×157
この方法を用いて各10進小数が8進数の有限小数になるかどうかを確認します。
  • 0.3×8=2.4
    0.4×8=3.2
    0.2×8=1.6
    0.6×8=4.8
    0.8×8=6.4
    小数部が再び0.4になり、後は無限に繰り返すことになるので無限小数(0.23146(8))です。
  • 0.4×8=3.2
    0.2×8=1.6
    0.6×8=4.8
    0.8×8=6.4
    小数部が再び0.4になり、後は無限に繰り返すことになるので無限小数(0.3146(8))です。
  • 正しい。0.5×8=4.0 と小数部が0になるので有限小数(0.4(8))です。
  • 0.8×8=6.4
    0.4×8=3.2
    0.2×8=1.6
    0.6×8=4.8
    小数部が再び0.8になり、後は無限に繰り返すことになるので無限小数(0.6314(8))です。
なぜ小数部が0になれば有限小数になるのかというと、8進数の小数(0.a1a2a3…an)は、

 a1×8-1+a2×8-2+a3×8-3+・・・+an×8-n

のようになっていて、これを8倍すると、8-1→80 で、最初の項が整数になります。他の項も、8-2→8-1 のようにひとつ上がっていきます。これを繰り返すと、8-n の項は8をn回掛けた時点で整数になります。つまり、有限桁であれば何回目かで小数部分がなくなります。
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