応用数学 (全42問中31問目)

No.31

pを2以上の整数とする。任意の整数nに対して,
 n=kp+m (0≦m<p)
を満たす整数kとmが一意に存在する。このmをnのpによる剰余といい,n mod pで表す。(−10000) mod 32768に等しくなるものはどれか。
  • −(10000 mod 32768)
  • (−22768) mod 32768
  • 10000 mod 32768
  • 22768 mod 32768

分類

テクノロジ系 » 基礎理論 » 応用数学

正解

解説

文字式 n=kp+m (0≦m<p) において、nは除算の割られる数、pは割る数、kは商、mは剰余を表しています。

n=kp+m の式に、 (−10000) mod 32768 の n=10000、p=32768 を代入すると、m(剰余)は次のように表せます。

 −10000=32768k+m
 m=−32768k−10000

剰余であるmは、0以上p未満(0≦m<p)である必要があるので、整数kの範囲を以下のように求めます。

[mが0となるkの値]
 −32768k−10000=0
 −32768k=10000
 k≒−0.3051

[mがpとなるkの値]
 −32768k−10000=32768
 −32768k=42768
 k≒−1.3051

k(商)は(−1.3051<k≦−0.3051)を満たす整数ですから「−1」とわかります。前述の式のkに−1を代入すると、

 m=−32768×(−1)−10000
 m=22768

(−10000) mod 32768=22768 で、剰余mが22768になることがわかります。したがって、選択肢の中で剰余が22768となる「22768 mod 32768」が適切な答えです。
  • 剰余は−10000になるため不適切です。
  • 剰余が10000になるため不適切です。
  • 剰余は10000になるため不適切です。
  • 正しい。
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