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[4187] 標準偏差(平成16年秋期  問7)について

 ゆうさん(No.1) 
投稿失礼します。

1点教えていただきたいのですが、

ある工場で製造している部品の長さの誤差は,平均0mm,標準偏差0.5mmの正規分布に従っている。誤差の許容範囲が±1mmのとき,不良品の発生率は何%になるか。

という問題の解説の中で、

標準偏差が0.5mmが、標準正規分布表の確率変数1.00に相当します。

と記載されているのですが、こちらは標準偏差=確率変数1.00と暗記しても問題ないのでしょうか。
標準正規分布表と実際の値の関係性が上手く結びつかず、伺っております。

ご存じの方がいらっしゃいましたら、ご教示いただけると幸いです。
よろしくお願いいたします。
2022.05.01 16:58
dさん(No.2) 
標準正規分布に従う確率変数Zと平均μ, 標準偏差σの正規分布に従う確率変数Xの間には, 次の関係が成り立ちます。
Z = (X - μ)  / σ
部品の誤差が1のとき, Z = (1 - 0) / 0.5 = 2 となり, 標準正規分布表の確率変数の値が2のところの分布間数値を見ればよいことが分かります。以降の計算は解説通りです。

解説に1か所誤りがあります。
解説上部の正規分布の画像下部について, 「全体の面積を1.0としたときの割合を表す」のは確率密度ではなく分布関数(値)です。
2022.05.01 17:59
chihiroさん(No.3) 
FE・プラチナエキスパート
>こちらは標準偏差=確率変数1.00と暗記しても問題ないのでしょうか。
絶対にやめてください。根本が理解できていないと全く応用が利かない覚え方なので。

問題で扱っている用語について整理します。
・標準偏差
ざっくり言うと、平均からの値のばらつき度合です。
・確率変数
起こりうる事柄とその確率が与えられている変数のことです。サイコロの出目Xは1,2,3,4,5,6のいずれかをとり、その目が出る確率は各1/6だからXは確率変数である、といった具合です。
ただし本問の確率変数は上記とは少し違います。ここの確率変数は
z=(x-μ)/σ (μ:平均、σ:標準偏差)
というように、xが平均値から標準偏差の何倍離れているかを表したものとなっています(標準化確率変数)。つまり、標準化確率変数が1であれば、平均からσだけ大きい値をとるということになります。これが、
>標準偏差が0.5mmが、標準正規分布表の確率変数1.00に相当します。
の意味です。
・分布関数値
確率変数がその値以下になる確率のことです。表を見ると、確率変数1.00のとき分布関数値は0.8413となっていますが、これは(標準化)確率変数が1以下になる確率が84.13%であるということです。逆に言えば、1以上になる確率は100-84.13=15.87%であると言えます。
・確率密度関数
ざっくり言うと、その確率変数のとりやすさです。確率変数0.00のとき確率密度関数値が0.3938となっていますが、これは確率変数0.00となる確率は39.38%であるという意味ではありません。あくまで相対的なとりやすさと考えてください。本問を解くにあたっては無関係です。

以上を踏まえて考えます。誤差の許容範囲が±1mm=±2σとあるので、確率変数2.00の箇所を見ればいいとわかります。分布関数値は0.9773なので、確率変数が2σ以上になる確率は、1-0.9773=0.0227=2.27%です。同様に、確率変数が-2σ以下になる確率も2.27%となります(正規分布は左右対称のグラフになるから)。よって求める確率は2.27*2=4.54%となります。

余談ですが、正規分布において、値が平均値±σ以内に収まる割合は約68%、平均値±2σ以内に収まる割合は約95%なので、不良品の発生率は大体5%程度になるだろうなと見当をつけることもできます。あくまで見当なので、ちゃんと表を利用して解くべきですが。
2022.05.01 18:15
 ゆうさん(No.4) 
d様
chihiro様

ご教示いただきありがとうございます。
単純な暗記ではなく、背後に
z=(x-μ)/σ (μ:平均、σ:標準偏差)
という関係性があり、そこから導かれたものであることを理解いたしました。
(危うく機械的に暗記して済ませるところでした・・・)

引き続き励みたいと思います。
この度はありがとうございました。
2022.05.01 19:39

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