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この問題の解き方を教えていただけますか。

  次の式は、何進法で成立するか。
    2113÷3＝423（余り0）

  ア 5進法  イ 6進法  ウ 7進法  エ 8進法

あっているか分かりませんが・・・もし試験でこれ出て私だったら
愚直に各基数を10進数に直して割ってしまうと思います。

1桁目は全部３，２から3桁目は1倍、4桁目が2倍
ア 5進法(1, 5, 25, 125)
3 + 5 + 25 + 250 = 283 / 3
イ 6進法(1, 6, 36, 216)
3 + 6 + 36 + 432 = 477 / 3
ウ 7進法(1, 7, 49, 343)
3 + 7 + 49 + 686 = 745 / 3
エ 8進法(1, 8, 64, 512)
3 + 8 + 64 + 1024 = 1099 / 3
この内割り切れるのがイなので、イを選ぶと思います・・・

割り算だと考えにくいのでまず掛け算に変換して

2113÷3＝423
2113＝423×3
右辺の各桁を計算するとそれぞれ
4×3＝12
2×3＝6
3×3=9
となります。
左辺の2113の下1桁に注目すると3になっているので右辺下1桁の3×3＝9のうち6が桁上がりして3余ってることが分かります。
n進数だと考えると9÷nの余りが3になるようなnを求めればよいのでn＝6で答えはイの6進法でしょうか

私も初めてこのような問題を解いたので合っているか不安ですが、平成16年春午前問2に類問がありましたので解説を参考にしてみてください。
https://www.fe-siken.com/kakomon/16_haru/q2.html

お二方、丁寧にご解答いただきありがとうございます。
参考にさせていただきます。

ある程度数学の知識があるのなら…

問題の等式がn進法とすると

2n^3 + n^2 + n + 3 = (4n^2 + 2n + 3) * 3…①

という等式が成り立ちます。

an^3+bn^2+cn+d = 0

という方程式の解の候補は(dの約数)/(aの約数）です。

①をこの方程式の形にすると三次の項が2、定数項が-6になります。

nは自然数ですから、求めたいnの候補は1/1,2/1,3/1,6/1,6/2(=3/1)で選択肢と一致するのは6のみですから6進法と分かります。

No.5について補足

①の式を整理すると

2n^3-11n^2-5n-6 = 0 …②

nの自然数解の候補として1,2,3,6があります。

選択肢に3があった場合は②にn=3を代入すると

2*27 - 11*9 -5*3 -6 = -66 で0にならないので3進法ではないことが分かります。

n = 6を代入すると

2*216 -11*36 -5*6-6 = 432 - 396 -30 -6 ＝0 になるため6が②の解の1つになります。

まーぼさん、ありがとうございます。

この投稿は投稿者により削除されました。(2023.08.08 19:01)

調べていていろいろ気づいたので補足します。

定理:
整数係数多項式 = 0(ただし定数項は0以外）の形の方程式が有理数解q/pを持つなら、pは最高次係数の約数であり、qは定数項の約数である。
また、整数解nを持つならq（定数項の約数）である。

が成り立つそうです。

くるすさんの問題とruuさんの問題はどちらもnの3次方程式の整数解のうち正のものを選ぶ問題に帰着できます。

くるすさんの問題では、定理の形の方程式に変形すると、定数項が-6になるので整数解nを持つならqの約数である±1,±2,±3,±6のどれかになり、選択肢から6を選べます。

ruuさんの問題では、同様に変形すると、
n^3-5n^2-14n = 0となり定数項が0のため、上の定理が使えません。
左辺をnでくくると、
n * (n^2-5n-14) = 0 となり、
nは0ではないので両辺nで割ると
n^2 -5n-14 ＝ 0で定理が使える形になる。

ここから定理を使って自然数の解の候補を1,2,7,14に絞って、問題文の式に5が使われていることから6以上なので7と14の２つのうち選択肢にある7を選んでもよいし、
因数分解して(n+2)(n-7) = 0からn=-2,7でnは自然数ということで7を選んでも良い。

計算の楽さだとruuさんの解き方が一番速いと思いますが、時間が余ったときの検算にも使えるため紹介しました。

>くるすさんの問題では、定理の形の方程式に変形すると、定数項が-6になるので整数解nを持つならqの約数である±1,±2,±3,±6のどれかになり、選択肢から6を選べます。

qの約数→-6の約数