応用数学(全48問中37問目)
No.37解説へ
pを2以上の整数とする。任意の整数nに対して，
n＝kp＋m (0≦m＜p)
を満たす整数kとmが一意に存在する。このmをnのpによる剰余といい，n mod pで表す。(－10000) mod 32768に等しくなるものはどれか。
n＝kp＋m (0≦m＜p)
を満たす整数kとmが一意に存在する。このmをnのpによる剰余といい，n mod pで表す。(－10000) mod 32768に等しくなるものはどれか。
出典：平成17年秋期 問 4
- －(10000 mod 32768)
- (－22768) mod 32768
- 10000 mod 32768
- 22768 mod 32768
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解説
文字式 n＝kp＋m (0≦m＜p) において、nは除算の割られる数、pは割る数、kは商、mは剰余を表しています。
n＝kp＋m の式に、 (－10000) mod 32768 の n=10000、p=32768 を代入すると、m（剰余）は次のように表せます。
－10000＝32768k＋m
m＝－32768k－10000
剰余であるmは、0以上p未満（0≦m＜p）である必要があるので、整数kの範囲を以下のように求めます。
[mが0となるkの値]
－32768k－10000＝0
－32768k＝10000
k≒－0.3051
[mがpとなるkの値]
－32768k－10000＝32768
－32768k＝42768
k≒－1.3051
k（商）は（－1.3051＜k≦－0.3051）を満たす整数ですから「－1」とわかります。前述の式のkに－1を代入すると、
m＝－32768×(－1)－10000
m＝22768
(－10000) mod 32768＝22768 で、剰余mが22768になることがわかります。したがって、選択肢の中で剰余が22768となる「22768 mod 32768」が適切な答えです。
n＝kp＋m の式に、 (－10000) mod 32768 の n=10000、p=32768 を代入すると、m（剰余）は次のように表せます。
－10000＝32768k＋m
m＝－32768k－10000
剰余であるmは、0以上p未満（0≦m＜p）である必要があるので、整数kの範囲を以下のように求めます。
[mが0となるkの値]
－32768k－10000＝0
－32768k＝10000
k≒－0.3051
[mがpとなるkの値]
－32768k－10000＝32768
－32768k＝42768
k≒－1.3051
k（商）は（－1.3051＜k≦－0.3051）を満たす整数ですから「－1」とわかります。前述の式のkに－1を代入すると、
m＝－32768×(－1)－10000
m＝22768
(－10000) mod 32768＝22768 で、剰余mが22768になることがわかります。したがって、選択肢の中で剰余が22768となる「22768 mod 32768」が適切な答えです。
- 剰余は－10000になるため不適切です。
- 剰余が10000になるため不適切です。
- 剰余は10000になるため不適切です。
- 正しい。
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