どなたかわかる方がいましたら教えていただけませんでしょうか。

解答のトレース部分の
６行目：（0.5‐0.25）＜0.001は 偽 なので 処理実行 する
というのは、0.25は0.001より大きいので、偽 ということはわかるのですが、

７行目：ｆ（0.25）≧０は 偽 なので ｘ₀←0.25 
というのは、0.25は０より大きいので、真 であり、ｘ₁←0.25 ではないんでしょうか。

その後８行目以降は、トレースが真、真で続いていき、
答えにたどり着くのも、
７行目：ｆ（0.25）≧０は 偽 なので ｘ₀←0.25 
でないと正解がでないのはわかるのですが。。。

数学の知識がないまま勉強し始めたため、基本的な考え方がわかっていないかもしれません。
よろしくお願いいたします。

勉強お疲れ様です。
まず、単調増加とは関数内で数字が上がり続ける関数のことを言います。たとえば、y=2xはxが増えればどんな時でもyが増えるため、単調増加関数になります。
今回はは少し問題が分かりにくい気がしますが、この問題では0≦x≦1に対してf(0)≦0≦f(1)が単調増加である関数であるため、例ではf(0.3)=0としているので、0～0.3でf(x)≦0,0.3～1で0≦f(x)となります。そのため、f(0.25)≧0は偽となるのです。f(x)=xでは無い事に注意が必要です。

八朔さん
早々に返信いただき、ありがとうございます。
聞いてよかったと思うのは、単調増加の関数を知らなかったために
解釈が違っていたことです。。。
まだあまりよく呑み込めていませんが、
単調増加の関数も調べながら、再度解いてみます。
ありがとうございました。