分野 ：テクノロジ系
中分類：基礎理論
小分類：離散数学

設問では「ある整数値を，…2進数記法で表すと最下位ビットが"11"であった」としています。最下位2ビットが"11"となる整数値の特徴は正負によって異なるので、場合分けして考えます。

【正の数】
正の数には2の補数を使わないので、2進数の形「xx…x11」をそのまま10進数に直すことを考えます（xはどんなビットでも構いません）。いくつか例を挙げて説明します。

• 111₍₂₎ → 7₍₁₀₎
• 1011₍₂₎ → 11₍₁₀₎
• 10111₍₂₎ → 23₍₁₀₎
• 110011₍₂₎ → 51₍₁₀₎

この4つの例が示すように、2進数で下位2ビットが"11"の正の数は、必ず「4で割ったときに余りが3になる数」となります。これは、4で割るという処理が、2進数ではビットを右に2ビットシフトする操作と同義だからです。右に2ビット動かすと、"11"（＝10進数の3）の部分が切り捨てられ、これが余りとして残ります。

【負の数】
負の数を2の補数に変換するときと反対の手順で、2の補数で表現された「xx…x11」の絶対値を表すビット列を求めます。

1. xx…x11 から1を引く。
   xx…x10
2. 全てのビットを反転させる。
   xx…x01 //絶対値の2進数表現

このことから、2の補数表現で下位2ビットが"11"となる負の数がある場合、その数の絶対値では下位2ビットが必ず"01"になるとわかります。下位2ビットが"01"となる数は、10進数では次の数です。

• 101₍₂₎ → (絶対値)5₍₁₀₎ → (負数)－5₍₁₀₎
• 1001₍₂₎ → (絶対値)9₍₁₀₎ → (負数)－9₍₁₀₎
• 10101₍₂₎ → (絶対値)21₍₁₀₎ → (負数)－21₍₁₀₎
• 110001₍₂₎ → (絶対値)49₍₁₀₎ → (負数)－49₍₁₀₎

これらの負数を4で割ると余りは「3または－1」になります。ここで、設問の「除算の商は，絶対値の小数点以下を切り捨てるものとする」という条件を適用すると、

• －5÷4＝－1.25 → 絶対値の小数点以下を切り捨てると商は－1
  商が－1ならば余りは－1
• －9÷4＝－2.25 → 絶対値の小数点以下を切り捨てると商は－2
  商が－2ならば余りは－1

というように、常に「4で割った余りは－1」になります。

以上より、最下位2ビットが"11"である整数値を4で割った余りは、その整数値が正ならば3、負ならば－1と結論付けられます。したがって「ア」の記述が適切です。

【2の補数】
2進数で負数を表現する方法の一つです。ある負の数を2の補数で表すには、①その負の数の絶対値を2進数に直し、②すべてのビットを反転して、③その結果に1を加えます。

例）10進数表記の -10 は以下の手順で2の補数に変換します（8ビットの固定小数点数）。

1. -10の絶対値である10を2進数に直す。
   10₍₁₀₎ →　00001010₍₂₎
2. 00001010₍₂₎の全ビットを反転させる。
   00001010₍₂₎ → 11110101₍₂₎
3. ②の結果に1を加える。
   11110101₍₂₎ → 11110110₍₂₎